الإجابة مباشرة: العبارة الصحيحة هي أن كثير الحدود ليست عاملاً من عوامل دالة كثيفة الحدود عندما يشير السؤال إلى قيود الدالة وتحديد مجالها أو سلوكها الطرفي. بعبارة أخرى، ليس من العوامل الأساسية لكثرة الحدود أن تكون عاملًا لدالة دالية معرّفة على أقسام مجالات جزئية؛ العوامل الأساسية تكون عوامل كثيرة الحدود نفسها وليس دالة أخرى تُعامل كعامل. تفصيل مختصر:
- كثير الحدود في متغير واحد يعبر عن دالة جبرية محدودة النطاق وقيمها تؤثر في الطرفين، بينما العامل هو قيمة عددية تقسم كثير الحدود إلى عوامل أولية. لذا العامل هو عدد أو تعبير جبري يقسم الناتج دون باقٍ.
- عند تحليل تمثيل بياني لدالة كثيرة الحدود، العوامل لا تُستخدم كحضور في التمثيل البياني كعوامِل؛ التمثيل يعكس سلوك الدالة نفسه، جذور الدالة، والتغيرات عند العلامات الطرفية وليس كقائمة لعواملها.
- أمثلة تعليمية تربط العوامل مع جداء عوامل كثيرة الحدود مثل n(x) = a(x - r1)(x - r2)...، حيث العوامل هنا هي عوامل كثيرة الحدود نفسها وليست دالة أخرى تُحَلل إلى عاملٍ إضافي.
إذا رغبت، يمكن توضيح أكثر بمثال تفصيلي وكيفية تمييز العوامل عن سلوك الطرفيات والجداء العام لكثرة الحدود، مع رسمة بيانية توضّح نهاية الطرفين ومواقع الجذور.
